I. Introducción a los métodos numéricos

1.1 Conceptos básicos: Algoritmos y aproximaciones.

Los métodos numéricos constituyen procedimientos alternativos provechosos para resolver problemas matemáticos para los cuales se dificulta la utilización de métodos analíticos tradicionales y, ocasionalmente, son la única opción posible de solución.

Son técnicas mediante las cuales un modelo matemático es resuelto usando solamente operaciones aritméticas, … tediosos cálculos aritméticos.

Son técnicas sistemáticas cuyos resultados son aproximaciones del verdadero valor que podria tener la variable de interés; la repetición consistente de la técnica, a lo cual se le denomina iteraciones, es lo que permite acercarse cada vez más al valor buscado.

1.1.1 Algoritmos

Se le llama algoritmo Es un conjunto de pasos, instruccioneso acciones que se deben seguir y realizar ordenadamente para llegar a un fin determinado. 

Todo algoritmo debe obedecer a la estructura básica de un sistema, es decir: Entrada, Proceso y Salida. 

• ENTRADA: Corresponde al insumo, a los datos necesarios que requiere el proceso para ofrecer los resultados esperados.
• PROCESO: Pasos necesarios para obtener la solución del problema o la situación planteada.
• SALIDA: Resultados arrojados por el proceso como solución.

En los algoritmos se emplean estructuras básicas o de control ya prediseñadas para el tratamiento de información, las cuales realizan acciones a las cuales deba someterse la información. Estas estructuras son:

• Secuenciales: Cuando se requiere que una instrucción siga después de otra.
• Selección o decisión: Para tomar decisiones lógicas, la ejecución de la instrucciones dependerá de que se cumplan o no, una o varias condiciones.
• Repetición o Iteración: se utiliza cuando un proceso debe repetirse un número determinado o no de veces, una vez.

1.1.1.1 Paquetes y priogramación
En la actualidad existen dos tipos de usuarios de software. Por un lado están aquellos que toman lo que se les da. Es decir, quienes se limitan a las capacidades que encuentran en el modo estándar de operación del software existente. Por ejemplo, resulta muy sencillo resolver un sistema de ecuaciones lineales o generar una gráfica con valores x-y con Excel o con MATLAB.

1.1.2 Aproximaciones

Se entiende por aproximación numérica X una cifra que representa a un número cuyo valor exacto es X. En la medida en que la cifra X se acerca más al valor exacto X, será una mejor aproximación de ese número

žEjemplos:
3.1416 es una aproximación numérica de p,
2.7183 es una aproximación numérica de e,
1.4142 es una aproximación numérica de raiz de 2, y
0.333333 es una aproximación numérica de 1/3.

1.1.3 Cifras Significativas

žLas mediciones se realizan normalmente a través de instrumentos; por ejemplo, un velocímetro para medir la velocidad de un automóvil, o un odómetro para medir el kilometraje recorrido.

žEl número de cifras significativas es el número de dígitos t, que se pueden usar, con confianza, al medir una variable; por ejemplo, 3 cifras significativas en el velocímetro y 7 cifras significativas en el odómetro. 

Los ceros incluidos en un número no siempre son cifras significativas; por ejemplo, los números 0.00001845, 0.001845, 1845 y 184500 aparentemente tienen 4 cifras significativas, pero habría que conocer el contexto en el que se está trabajando en cada caso, para identificar cuántos y cuáles ceros deben ser considerados como cifras significativas.

žEl manejo de cifras significativas permite desarrollar criterios para detectar qué tan precisos son los resultados obtenidos, así como evaluar los niveles de exactitud y precisión con que son expresados algunos números tales como p, e ó raiz de 2.

žAlternativamente al número de cifras significativas, está el número n de dígitos en la mantisa, que indica el número de cifras a considerar, después del punto decimal. En operaciones manuales, el número de dígitos en la mantisa sigue teniendo vigencia, aunque ha sido desplazado poco a poco por el número de cifras significativas que, por diseño, manejan calculadoras y computadoras.